Suprafața unui triunghi isoscel

Denumiri Letter părțile și unghiuri în figură corespund celor indicate în formule. Astfel, acesta va ajuta să le compare cu elementele unui triunghi isoscel. Din starea problemei, determina care elemente sunt cunoscute, le obține în desemnat desen și selectați o formulă adecvată.

Formula unei zone de triunghi isoscel

Următoarele sunt formule de suprafață a unui triunghi isoscel constatare. prin părțile laterale, lateral și unghiul dintre ele, prin latura, baza și unghiul la vârf, prin latura bazei și unghiul de la baza etc. Trebuie doar să căutați cele mai potrivite pe stânga. Pentru cele mai interesante din textul la dreapta se explică de ce formula yavyalyaetsya corectă și modul de utilizare este pătrat.

1. Zona unui triunghi isoscel poate fi găsit prin cunoașterea laterale și fundul ei. Această expresie a fost obținută prin simplificarea formulei universale mai general. În cazul în care pentru o bază, formula lui Heron, apoi să ia în considerare faptul că cele două părți ale triunghiului sunt egale cu miere, expresia este simplificată la formula prezentată în imagine.
   Un exemplu de utilizare o astfel de formulă este dată ca un exemplu de rezolvare a problemei de mai jos.
2. A doua formulă permite să găsească zona sa, prin părțile laterale și unghiul dintre ele - aceasta este partea pe jumătate pătrat, înmulțită cu sinusul unghiului dintre laturile
   Dacă o înălțime mai mică mental pe partea laterală a unui triunghi isoscel, rețineți că lungimea este egală cu un β * sin. Având în vedere că lungimea laturii cunoaștem înălțimea, a redus este acum cunoscut, jumătate dintre ei lucrează și să fie egală cu aria unui triunghi isoscel (Notă: produsul complet dă aria unui dreptunghi, care este înălțimea evidentă împarte dreptunghiului în două mic dreptunghi, cu laturile triunghiului. sunt diagonalele lor, care le despart exact în jumătate. Astfel, aria unui triunghi isoscel și este egală cu jumătate din partea de produs a înălțimii). A se vedea. De asemenea, Formula 5
3. A treia formulă constatare arată zona prin partea sa, baza și unghiul la vârf.
   Strict vorbind, cunoscând unul dintre colțurile unui triunghi isoscel, iar restul pot fi găsite, astfel încât utilizarea acestui sau o formulă anterioară - o chestiune de gust (de altfel, astfel încât să puteți aminti doar una dintre ele).
   O a treia formulă are, de asemenea, o altă caracteristică interesantă - un păcat α produsul ne va da înălțimea lungimii, coborâtă la sol. Rezultatul este o formulă simplă și evidentă 5.
4. Aria triunghiului isoscel poate vedea, de asemenea, prin partea laterală a bazei și la unghiul de bază (unghiuri egale la bază) ca bază pătrat împărțit în patru tangenta jumătate din unghiul format de laturile sale laterale. Dacă te uiți atent, devine evident că jumătate din baza (b / 2) înmulțit cu tg (p / 2), ne va da înălțimea triunghiului. Deoarece înălțimea în triunghiul este isoscel, simultan, bisectoarea mediană și apoi tg (β / 2) - este raportul jumătate a bazei (b / 2) la înălțimea - tg (β / 2) = (b / 2) / h. În cazul în care h = b / (2 tg (β / 2)). Ca urmare, formula este din nou redusă la o simplă formulă de 5, care este destul de evident.
5. Desigur, aria unui triunghi isoscel poate fi găsit prin reducerea înălțimii de la partea de sus la baza, pentru a da cele două triunghiuri drepte. În continuare - toate evidente. Jumătate din înălțimea produsului la baza este zona dorită. Un exemplu folosind această formulă cm. Mai jos in problema (metoda 2 soluții)
6. Această formulă este obținut, dacă vom încerca să găsim aria unui triunghi isoscel, folosind teorema lui Pitagora. Pentru a exprima această înălțime de formula precedentă, care simultan este piciorul unui triunghi dreptunghic format de partea laterală, iar jumătatea înălțimii sale de bază, prin teorema lui Pitagora. Latura este ipotenuza, deci un pătrat de latură (a) scade al doilea picior pătrat. Deoarece este egală cu jumătate din bază (b / 2), atunci acesta va fi egal cu pătratul b 2/4. Eliminarea rădăcina acestei expresii și să ne dea înaltă. După cum se vede în Formula 6. Dacă numărătorul și numitorul se înmulțește cu doi, iar apoi egalitate de puncte pentru a face un numărător semn de rădăcină, vom obține cea de a doua versiune a aceleiași formule, care este scris de semnul „egal“.
   Apropo, cel mai savvy se poate vedea că, în cazul în Formula 1 pentru a deschide paranteze, se va transforma in Formula 6. Sau, dimpotrivă, diferența dintre pătratelor a două numere, factoring, ne va da o inițială, în primul rând.

Desemnări. care au fost utilizate în formulele de mai jos:

a - lungimea uneia dintre cele două părți egale ale triunghiului

b - lungimea bazei

α - valoarea unuia dintre cele două unghiuri egale la baza

β - unghiul dintre laturile egale ale triunghiului și Opposing baza sa

h - înălțimea de lungime, a scăzut de la partea de sus la baza unui triunghi isoscel

Important. Notă desemnarea variabilelor! A nu se confunda α și β, și a și b!

Notă. Această parte a lecției cu obiectivele geometriei (zona secțiune a unui triunghi isoscel). Aici sunt problemele care cauzează dificultăți în rezolvarea. Dacă aveți nevoie pentru a rezolva problema de geometrie, care nu este aici - scrie despre el pe forum. √ simbol sau sqrt () este folosit pentru a desemna pași în pătrate soluțiile rădăcină sarcini de extracție, unde în paranteze radicand.

Latura triunghiului isoscel este egală cu 13 cm, iar baza este de 10 cm. Gasiti zona unui triunghi isoscel.

Prima cale. Formula lui Heron este aplicabil. Ca un triunghi isoscel, atunci se va lua o formă mai simplă (vezi formula 1 în formulele enumerate mai sus.)

și unde - lungimea laturilor și b - lungimea bazei.
Substituind valorile lungimilor laterale ale triunghiului condițiile problemei, obținem:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5) (13 - 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 cm2

Doilea mod. Aplicăm teorema lui Pitagora
Să presupunem că nu ne amintim formula care a fost utilizat în primele soluții metoda. Prin urmare, omise din vârful B pe baza înălțimii AC BK.
Având în vedere că înălțimea unui triunghi isoscel împarte baza sa în jumătate, apoi jumătate din lungimea bazei va fi egală cu
AK = AC / 2 = 10/2 = 5 cm.

Înălțimea și jumătate din partea de jos și laturile unui triunghi isoscel formează un triunghi dreptunghic ABK. În acest triunghi, știm ipotenuzei AB și piciorul AK. Ne exprimăm lungimea celei de a doua etapă, prin teorema lui Pitagora.

În consecință, înălțimea va fi egală cu:

h = √ (februarie 13 - mai 2) = √144 = 12 cm

Aria ABC isoscel începând triunghi este egală cu aria ABK două triunghiuri dreptunghiulare și CBK, formate de laturile laterale, o înălțime și o bază a jumătăților triunghi isoscel. Cele două triunghiuri unghi drept sunt egale. Ipotenuza - este partea unui triunghi isoscel, astfel încât acestea sunt unul dintre picioarele - o comună, dar pentru că, BK este atât bisector și altitudinea, unghiurile corespunzătoare sunt egale. Prin urmare, vom fi de ajuns pentru a găsi zona uneia dintre ele, și înmulțiți numărul respectiv doi.

S = AK * BK / 2
S = 5 * 12/2 = 30 cm2

Ca parte a triunghiului ABC două triunghiuri egale dreapta ABK și CBK, suprafața totală a unui triunghi isoscel ABC este:

După cum se poate observa, ambele metode dau același rezultat decizia.

Răspuns. Aria triunghiului isoscel este de 60 cm2.