Soluția de ecuații în numere întregi, platforma de conținut

soluții de ecuații în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice.

ecuația algebrice cu coeficienți întregi care au mai mult de un necunoscut atunci când sarcina este de a găsi o soluție total sau rațională numită nedeterminată sau Diophantine, în numele matematicianului grec Diophant, care a studiat problema de a rezolva astfel de ecuații. Potrivit unor rapoarte Diophant a trăit până la 364 ani înainte de Hristos. e. Știm doar un fel de biografie a lui Diophant, care, conform legendei a fost gravat pe mormântul său, și este o sarcină-puzzle: „Dumnezeu ia dat să fie un băiat șesime din viață; adăugând la această a douăsprezecea parte, el a acoperit obrajii cu jos; după a șaptea a aprins El ia lumina de căsătorie și la cinci ani după căsătorie ia dat un fiu. Vai! Nefericitul copil târziu ajunge măsuri jumătate din viața deplină a tatălui său, el a fost măturat soarta nemiloasă. Patru ani mai târziu, consolatoare durerea sa abătut asupra știința numerelor, el [Diofant] completat viața lui. "

Scopul acestui articol să ia în considerare unele metode de rezolvare a ecuațiilor Diofantine. Multe dintre aceste metode implică utilizarea unora dintre concepte și algoritmi de teoria divizibilitate în legătură cu aceasta, le amintim.

Determinarea 1.Naibolshim divizor comun (GCD) de numere întregi a1, a2, ..., o se numește acest divizor lor comun pozitiv, care este divizibil cu orice alt divizor comun al acestor numere.

Teorema 2. Dacă, atunci nu există numerele întregi x și y, astfel încât are loc egalitate.

Notă. Această ecuație se numește o combinație liniară sau reprezentarea liniară a GCD prin aceste numere.

Determinarea 3.Chisla a și b se numesc în cazul în care GCD prime între ele a numerelor este egal cu 1.

Teorema 4. (teorema de diviziune cu rest) Pentru orice întreg în ansamblu și există doar numere întregi q și r, astfel încât.

Notă. Dacă q se numește coeficientii parțiale și r - restul divizării unei prin b. În special, în cazul în care. și apoi împărțit în.

Din Teorema 4 rezultă că pentru un număr întreg m fix> 0 și orice întreg poate fi exprimat într-una dintre următoarele tipuri:

Mai mult decât atât, dacă vom avea, dacă

Următoarea metodă bazată pe teorema pentru a găsi cel mai mare divizor comun al numerelor întregi.

Teorema 5.Pust a și b - două numere, 0 și apoi.

Această metodă se numește algoritmul lui Euclid. Problema de a găsi GCD a numerelor a și b este redusă la o problemă mai simplă de a găsi GCD de b și r. . Dacă r = 0. ceva. Dacă, totuși, argumentele sunt repetate, pornind de la b și r. Rezultatul este un lanț de egalitati:

Obținem o secvență descrescătoare de numere întregi pozitive

care nu poate fi infinit. Prin urmare, există un rest de la zero: lasa. Teorema 10 din (**) rezultă că.

1. Soluția de ecuații de gradul unu nedeterminat în două variabile în numere întregi

Luați în considerare două metode de rezolvare a Diofantine ecuații de gradul întâi în două variabile.

Algoritmul acestei metode, ia în considerare exemplul rezolvării unei anumite ecuații. Etapele algoritmului care trebuie aplicate atunci când se adresează unei astfel de ecuație cu caractere italice.

Ecuația EXEMPLU 1.Reshit în numere întregi 5x + 8y = 39.

1. Să necunoscut, având cel mai mic raport (în acest caz, x), și exprimă-l printr-o altă necunoscută. .

2. Evidențiați întreaga parte. . Este clar că x este un număr întreg, dacă expresia ar fi un întreg, care, la rândul său, va avea loc atunci când numărul de 4 - 3y este uniform divizibil cu 5.

3. Introducem un peremennuyuz suplimentar întreg urmează: 4 -3y = 5z. Ca rezultat, obținem o ecuație de același tip ca și originalul, dar cu mai puțini coeficienți.

4. Rezolva-l deja în variabila y, raționamentul la fel ca în revendicarea 1, 2 .. Evidențiind partea întreagă, obținem:

5. Argumentând ca și mai înainte, vom introduce un nou peremennuyuu. 3u = 1 - 2z.

6. exprimă necunoscut cu cel mai mic raport. În acest caz, variabila z. =. Cerând să fie un număr întreg, obținem: 1 - u = 2V. unde u = 1 - 2v. Fracțiunile nu mai sunt, coborârea este finalizată (procesul continuă să meas lung ca expresie pentru variabila următoare va fi lăsat fracții).

7. Acum trebuie să „ridice“. Ne exprimăm primul prin variabila v z. apoi y și apoi x:

8. Formula x = 3 + 8v și y = 3 - 5v. în cazul în care v - un număr întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Notă. Astfel, metoda de coborâre implică mai întâi exprimarea coerentă a unei singure variabile printr-o alta, în timp ce în reprezentarea variabilei va fi lăsat fracțiuni, iar apoi succesiv „urca“ în sus lanțul de ecuații pentru soluția generală.

Această ecuație și orice altă ecuație liniară cu două necunoscute poate fi rezolvată prin altă metodă, folosind algoritmul lui Euclid. în plus, se poate demonstra că ecuația discutată mai sus are întotdeauna o soluție unică. Prezentăm aici teoria limbii pe baza cărora algoritmul de rezolvare a ecuațiilor de gradul I nedeterminat poate fi compus din două variabile în numere întregi.

Teorema 1.1.Esli în ecuație, ecuația este, cel, puțin o soluție.

Teorema 2.2.Esli în ecuație, și nu este divizibil cu, atunci întreaga ecuație nu are soluții.

Teorema 3.3.Esli în ecuație, și este echivalentă cu ecuația, unde.

Teorema 4.4.Esli în ecuație, atunci toate soluțiile integrale ale acestei ecuații sunt incluse în formulele:

unde x0, y0 - soluție integrală a ecuației - orice număr întreg.

După cum sa menționat mai sus, formulat teorema ne permite să facem următoarele soluții de algoritm în numere întregi de forma ecuației.

1. Găsiți cel mai mare divizor comun al numerelor a și b,

și, dacă nu este divizibil cu, atunci întreaga ecuație nu are soluții;

2. ecuația Divizare termwise pe, în timp ce primește o ecuație în care.

3. Găsiți o soluție întreg (x0, y0) prin ecuația 1 ca o reprezentare a combinației liniare numerelor și;

4. Crearea de soluții generale formulă întregi ale ecuației

unde x0, y0 - soluție integrală a ecuației - orice număr întreg.

Ecuația EXEMPLU 2.Reshit în numere întregi 407h - 2816y = 33.

Noi folosim un algoritm compus.

1. Folosind algoritmul euclidian, vom găsi cel mai mare divizor comun al 407 și 2816:

= 407 + 2816 374 · 6;

= 11 · 33 3. Prin urmare (407.2816) = 11 și 33 împărțit la 11

2. Divizare ambele părți ale ecuației inițiale 11, obținem ecuația 37H - 256y = 3, și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian găsi o reprezentare liniară a numerelor de la 1 la 37 și 256.

Exprimă una din ultima ecuație, apoi secvențial în sus lanțul egalitati va exprima 3; 34 și expresiile care rezultă, înlocuim expresia 1.

1 = 34 - 3 x 11 = 34 - (37 - 34 · 1) · 11 = 34 · 12-37 · 11 = (256-37 · 6) · 12-37 · 11 =

- 83 · 37 - · 256 (-12). Astfel, 37 + (- 83) - 256 + (-12) = 1, deci perechea de numere = x0 - y0 = 83 și - 12 este o soluție de 37h - 256y = 3.

4. Se înregistrează deciziile generale formula ecuația originală

unde t - este orice număr întreg.

Notă. Putem dovedi că, dacă perechea (x1, y1) - soluția integrală a ecuației, în cazul în care, atunci toate soluțiile integrale ale acestei ecuații este dată de :.

2. Metode de rezolvare a unor ecuatii neliniare Diofantine

abordări comune pentru rezolvarea unor ecuații de Diofantine neliniare sunt destul de complexe și necesită o pregătire extensivă pe teoria numerelor. Aici considerăm câteva ecuații și metode de bază ale soluțiilor lor.

O metodă de factoring

Ecuația originală prin gruparea termenilor și face factori comuni la forma, atunci când partea stângă a ecuației este produsul dintre factorii care conțin necunoscut, iar în dreapta este un număr. Considerăm că toate divizorii numărului de pe partea dreaptă a ecuației. A efectuat un studiu în care fiecare factor de pe partea dreaptă a ecuației este egală cu divizorul corespunzătoare de picioare pe partea dreaptă a ecuației.

Ecuația rezolva EXEMPLUL 3.To în chislahy3 întreg - x3 = 91.

Decizie. 1) Folosind Acronimul Formula multiplicarea factorizations dreapta-decompozabile:

2) Se scrie toate divizori de 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) efectuarea de cercetări. Rețineți că pentru orice numere întregi x și y numărul

în consecință, ambele cofactori în partea stângă a ecuației trebuie să fie pozitiv. Apoi, ecuația (1) set de ecuații este echivalent cu:

4) Sistemul Determinată, obținem primul sistem are soluții (5, 6), (-6, -5); a treia (-3; 4), (- 4; 3); soluții doua și a patra întregi nu.

A: Ecuația (1) are patru soluții (5, 6); (-6, -5); (-3; 4); (-4, 3).

EXEMPLU 4.Reshit în ecuația întregi x + y = xy.

Decizie. 1) Se transferă toți membrii ecuației la stânga și la ambele părți ale ecuației obținută se adaugă (-1): x + y - xy - 1 = - 1

Grupul primul - al patrulea și al doilea - termeni a treia și scoate factorii comuni, ca rezultat obținem ecuația: (x - 1) (y - 1) = 1

2) Produsul a două numere întregi poate fi egal cu 1 dacă și numai dacă ambele numere sunt egale cu 1 sau (-1).

3) Scrierea sistemului corespunzător de ecuații și rezolvarea acestora pentru a obține ecuația de mai sus. A: (0,0) și (2,2).

EXEMPLU 5.Dokazat că ecuația (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nu are soluții în numere întregi.

Decizie. 1) se descompun în partea stângă a ecuației și factoring divide ambele părți ale ecuației 3, ca rezultat obținem ecuația:

2) numărul divizor 10 sunt ± 1, ± 2, ± 5 ± 10. Rețineți, de asemenea, că suma factorilor parte a ecuației (2) din stânga este egal cu 0. Este ușor de a verifica dacă suma oricare trei din multitudinea de numere de separatoare de 10, pentru a da produsul 10 nu va fi egal cu 0. În consecință, ecuația originală nu este rezolvabilă în numere întregi.

reziduuri Metoda de încercare

Această metodă se bazează pe un studiu al posibilelor rămășițe ale partea stângă și dreaptă a ecuației prin divizarea cu un număr întreg pozitiv fix.

Luați în considerare exemplele care dezvăluie esența acestei metode.

EXEMPLU 6.Reshit în ecuația x2 întregi + 1 = 3y.

Decizie. 1) Rețineți că partea dreaptă a ecuației 3 este împărțit într-un număr întreg y arbitrar.

2) să investigheze care aceste reziduuri pot avea atunci când împărțit la trei din partea stanga a acestei ecuații.

Prin divizare Teorema cu rest întreg x sau împărțit în 3 sau când împărțit la trei pentru a da reziduul 1 sau 2.

Dacă x = 3k. pe partea dreaptă a ecuației 3 nu este divizat.

Dacă x = 3k + 1, atunci x 2 + 1 = (3k + 1) 2 + 1 = 3m + 2, prin urmare, din nou partea din stânga nu este divizibil cu 3.

Dacă x = 3k + 2, atunci x 2 + 1 = (3k + 2) 2 + 1 = 3m +2, deci, în acest caz, în partea stângă a ecuației nu este divizibil cu trei.

Așa că am înțeles sub nici o numere întregi x din partea stângă a ecuației nu este divizibil cu 3, în ciuda faptului că partea stângă a ecuației este împărțit în trei pentru orice valoare a variabilei y. În consecință, ecuația în numere întregi nu are soluții.

EXEMPLU 7.Reshit în ansamblu chislahx³ - 3y³ - 9z³ = 0.

Decizie. 1) Este evident că soluția ecuației va fi de trei numere (0, 0, 0).

2) Aflați dacă ecuația are alte soluții. Pentru a face acest lucru, vom transforma ecuatia la forma

Având în vedere că partea dreaptă a acestei ecuații este divizibil cu 3, stânga împărțit în trei obligat, prin urmare, ca 3 - prim număr x este împărțit la 3, și anume x = 3k ... substituie această expresie în ecuația (3): 27k 3 = 3y ³ + 9z ³, unde

în consecință, y ³ divizibil cu 3 și y = 3m. Substituind această expresie în ecuația (4): 9k 3 = 27m ³ + 3z ³, unde

La rândul său, din această ecuație rezultă că z 3 este împărțit la 3 și z = 3n. Substituind această expresie în (5), constatăm că 3 k trebuie să fie divizibil cu 3.

Deci, sa dovedit că numărul de a satisface ecuația inițială sunt multipli de trei, și de câte ori nu ne-am împărțit în 3-le din nou, ar trebui să producă multipli de trei. Numai întreg îndeplinesc această condiție va fi zero, adică, soluția acestei ecuații este (0, 0, 0) .. Este unic.

Sarcina de control №1

M.9.1.1. După ce a rezolvat problema, la pus mai întâi articol, pentru a determina modul în care a trăit vechi Diophant.

M.9.1.2. Rezolva ecuația în numere întregi

M.9.1.3. Găsiți ziua mea, în cazul în care suma numerelor fiind egală cu produsul de la data nașterii dintre cele 12 camere și luna nașterii este 31 380.

M.9.1.4. O bucată de lungimea firului de 102 cm trebuie tăiate în bucăți de 15 cm lungime și 12 cm, astfel încât a fost utilizat întregul fir. Cum de a face acest lucru?

M.9.1.5. Rezolva ecuația în numere întregi

M.9.1.6. Dovedește că ecuația x 2 - y 2 = 30 nu are soluții în numere întregi.

1. Ecuațiile Bashmakova, IG Diophant și Diofantine. - M. Stiinta 1972.

4. Babinski, IL Sarcini matematice Olimpiade. - M. 1975.

8. Sierpinski, W. La soluția de ecuații în numere întregi. - M 1961.

9. Perelman, YI algebra de divertisment. - M. Science, 1975.