Soluția de ecuații în numere întregi 1
Proiectul meu curs este dedicat uneia dintre cele mai interesante secțiuni ale teoriei numerelor - soluția de ecuații în numere întregi.
Soluție în numere întregi de ecuații algebrice cu coeficienți întregi, cu mai mult de un necunoscut este una dintre cele mai dificile probleme din teoria numerelor.
Problema de a rezolva ecuații în numere întregi complet rezolvate numai pentru ecuațiile de gradul al doilea în două necunoscute. Rețineți că, pentru ecuațiile de orice grad cu o singură necunoscută nu reprezintă nici un interes substanțial, deoarece această problemă poate fi rezolvată prin utilizarea unui număr finit de eșantioane. Pentru ecuațiile de mai sus de gradul al doilea, cu două sau mai multe necunoscute este foarte dificil, nu numai la problema găsirii tuturor soluții în numere întregi, dar chiar și o sarcină simplă de a stabili existența unui set finit sau infinit a unor astfel de soluții.
În proiectul meu am încercat să subliniem câteva dintre principalele rezultate obținute în teoria; rezolvarea ecuațiilor în numere întregi. Teorema formulate în ea, sunt prevăzute cu probe în cazurile în care probele destul de simplu.
1. ecuație cu o singură necunoscută
Luați în considerare ecuația de gradul I cu o singură necunoscută
Lăsați coeficienții ecuației
- numere întregi. In mod clar, soluția acestei ecuații
este un număr întreg numai când
divizibil prin
. Astfel, ecuația (1) nu este întotdeauna solubilă în numere întregi; de exemplu, de două ecuații
prima are întreaga soluție
, iar al doilea în numere întregi este de nerezolvat.
Cu aceeași împrejurare ne întâlnim în cazul ecuațiilor de grad mai mare decât prima: ecuația de gradul doi
Are soluții întregi
în numere întregi este de nerezolvat, deoarece rădăcinile sale
Problema găsirii rădăcinile ecuației la fel de mult ca și gradul n-lea cu coeficienți întregi
t. e. forma scăderea numărului de numere non-negative.
Deoarece numărul de întregi care nu depășesc limitele b, nu poate fi infinit, atunci într-o etapă de formare a caturi parțiale se termină datorită dispărând următorului rest r. lăsa
- ultima non-zero, restul din seria (5); atunci
și algoritmul lui Euclid pentru numerele a și b va lua forma
Noi rescrie ecuațiile obținute sub formă de
în primul rând al acestor ecuații valoarea corespunzătoare din a doua valoare rând
- expresia celui de al treilea rând, și așa mai departe. e. obținem o descompunere
Expresiile obținute din fracția continuată prin aruncarea tuturor unităților sale, pornind de la un anumit nivel, numit fracțiunile corespunzătoare. Primul: convergentă
rândul său, prin aruncarea înapoi toate link-urile care încep cu
Al doilea convergentă
Acesta a obținut prin aruncarea înapoi în mare toate link-urile care încep cu
Acest rezultat rezolvă problema găsirii tuturor soluțiilor integrale ale ecuației de gradul I cu două necunoscute. Să luăm acum în considerare unele dintre ecuațiile de gradul al doilea.
3. EXEMPLE ecuații pătratice cu trei necunoscute
Exemplul I. EXEMPLU Să considerăm o ecuație cu gradul trei necunoscute:
soluțiile geometrice ale acestei ecuații în numere întregi pot fi interpretate ca găsind triunghiuri pitagoreice, t. E. triunghiurile în care picioarele și
sunt exprimate în numere întregi.
- orice soluție a ecuației (29). Astfel, am demonstrat că, dacă ecuația (25) are cel puțin o soluție, atunci acesta are un număr infinit de ele.
Nu se poate pretinde că formula (31) sunt toate soluțiile ecuației (25). În teoria numerelor algebrice am demonstrat că toate soluțiile de (25), în numere întregi pot fi obținute prin luarea unui finit și dependent de anumite
numărul de soluții la această ecuație și multiplicarea lor cu formulele (31). Ecuația (25), când A este negativ sau egal cu pătratul unui număr întreg poate avea doar un număr finit de soluții. Soluția cea mai comună de ecuații de gradul al doilea în două necunoscute în numere întregi, ecuații de forma
unde numerele A, B, C, D, E și F - întregi reduse prin substituții ale variabilelor pentru soluția de ecuații (25) cu un A. pozitiv sau negativ Prin urmare, comportamentul de soluții, în cazul în care acestea există, sunt aceleași ca și în ecuația tip (25). Rezumând toate cele de mai sus, putem spune acum că ecuația de gradul doi, cu două tip necunoscut (32) nu poate avea o soluție în numere întregi, ele pot avea doar într-un număr finit, și în cele din urmă poate avea un număr infinit de soluții, și aceste soluții apoi luate dintr-un număr finit de progresii geometrice generalizate fiind dată de (31).
PROGRAM №1 (ecuația cu o singură necunoscută)