Online Calculator liniare ecuații Diofantine în două variabile

Diophantine ecuație cu două necunoscute este după cum urmează:

unde a, b, c - date fiind întregi, x și y - întregi necunoscute.

În scopul de a găsi soluții la ecuația utilizată de avansată euclidiană algoritm (cu excepția cazului în care degenerată a = b = 0, iar ecuația are infinit mai multe soluții, sau altfel nu are nici o soluție la toate).






Dacă numerele a și b sunt non-negativ, apoi folosind algoritmul lui Euclid extins putem găsi lor cea mai mare comună divizor g, și, de asemenea, astfel de factori și că:
.

Se susține că, în cazul în care numărul este divizibil cu c g, atunci ecuația Diophantine are o soluție; în caz contrar ecuația Diophantine nu are nici o soluție. Acest lucru rezultă din faptul evident că o combinație liniară a două numere continuă să fie împărțit la împărțitor lor comună.

Aceasta este, în cazul în care c este divizibil cu g, atunci relația:

.. Aceasta este una dintre soluțiile ecuației Diophantine sunt numerele:

Dacă unul dintre numerele a și b, sau ele sunt negative, atunci le putem lua cu privire la modul și de a le aplica algoritmul euclidian, așa cum este descris mai sus, și apoi modificați semnul coeficienților constatate, în conformitate cu semnul numerelor a și b, respectiv.

Dacă știm una dintre soluțiile, putem obține o expresie pentru toate celelalte decizii, care sunt nelimitate.

Deci, să g = cmmdc (a, b), următoarea condiție:
.

Apoi, adăugând la numărul și, în același timp, ținând departe, noi nu încalcă egalitatea:

Acest proces poate fi repetat orice număr, de exemplu, toate numerele de forma ..:

,
unde k face parte din setul de numere întregi, mulțimea tuturor soluțiile ecuației Diophantine.