Identitatea trigonometrice pitagoreice
Aceasta este ultima și cea mai importantă lecție necesară pentru a rezolva problemele B11. Noi deja știm cum să traducă unghiul de măsură radian în grade (vezi. Lecția „Radian și gradul de măsură a unghiului“) și sunt în măsură să determine semnul funcțiilor trigonometrice, concentrându-se pe coordonate trimestru (a se vedea. Lecția „semne ale funcțiilor trigonometrice“).
Cazul a rămas pentru mici: pentru a calcula valoarea funcției - același număr care este înregistrat ca răspuns. Aici vine în ajutorul pitagoreice identitatea trigonometrice.
Identitatea trigonometrice pitagoreice. Pentru orice unghi α declarație adevărată:
păcatul 2 α + cos 2 α = 1.
Această formulă se referă sinusul și cosinusul unghiului. Acum, că știm sinus, cosinus, vom găsi cu ușurință - și vice-versa. extractul rădăcină pătrată este suficientă:
Fiți atenți la semnul «±» la rădăcini. Faptul este că din identitățile trigonometrice de bază nu este clar ce a fost inițial cosinusul sine și: pozitiv sau negativ. După cvadratura - chiar și funcția, care „arde“ toate dezavantajele (dacă este cazul).
Acesta este motivul pentru toate problemele B11, care se găsesc în examen la matematică, asigurați-vă că există condiții suplimentare care ajuta pentru a scăpa de incertitudinea cu semne. De obicei, aceasta este o indicație de un sfert de coordonate, potrivit căreia este posibil să se determine semnul.
Cititorul atent va întreba: „Și ce despre tangenta și cotangentă“ se calculează în mod direct funcția formulelor nu pot fi enumerate mai sus. Cu toate acestea, există consecințe importante ale identitățile trigonometrice de bază, care conțin deja o tangentă și cotangentă. Și anume:
O consecință importantă: Identitatea trigonometrică pitagoreic poate fi rescrisă pentru orice unghi α după cum urmează:
Aceste ecuații sunt ușor derivate din identitatea de bază - este suficient să se împartă ambele părți prin cos 2 α (pentru tangent) sau păcatul 2 α (din cotangentă).
Sarcină. Găsiți păcatul a. dacă știți următoarele:
Știm cosinus, sinus dar necunoscut. Identitatea trigonometrice pitagoreice (în formă „pură“) se leagă doar aceste funcții, așa că vom lucra cu el. Avem:
păcat 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ păcatul 2 α + 99/100 = 1 ⇒ păcatul 2 α = 1/100 ⇒ păcat α = ± 1/10 = ± 0,1.
Pentru a rezolva problema rămâne de a găsi un semn al sinusurilor. Deoarece unghiul a ∈ (π / 2; π), apoi în grade este scrisă ca: α ∈ (90 °; 180 °).
Prin urmare, α este unghiul de coordonate trimestru II - toate sinusurile sunt pozitive. De aceea, păcatul α = 0,1.
Sarcină. Găsiți cos α. dacă știți următoarele:
Deci, știm sinus și cosinus de necesitatea de a găsi. Ambele aceste funcții au identități în mare parte trigonometrice. substitut:
păcat 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ± 1/2 = ± 0,5.
Rămâne să se ocupe cu semnul fracțiunii. Ce să aleagă: un plus sau un minus? Prin ipoteză, unghiul a aparține intervalului (π 3 π / 2). Translate unghiurile măsurii gradusnuju radian - obține: ∈ α (180 ° 270 °).
Evident, acest trimestru III de coordonate, în cazul în care toate cosinus negative. De aceea cos α = -0,5.
Sarcină. Găsiți tg α. dacă știți următoarele:
Tangentă și cosinus legate de ecuația, după cum rezultă din identitățile trigonometrice de bază:
Obținem: tg α = ± 3. Sign tangentă determinată de unghiul a. Este cunoscut faptul că α ∈ (3 π / 2 2 π). Translate unghiurile măsurii gradusnuju radian - obține ∈ α (270 °; 360 °).
Evident, acest coordonate trimestru IV, în cazul în care toate tangentele sunt negative. De aceea tg α = -3.
Sarcină. Găsiți cos α. dacă știți următoarele:
Din nou, cunoscut sinus și cosinus de necunoscut. Scriem identitatea trigonometrice pitagoreice:
păcat 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ± 0,6.
Semnul este determinată de unghiul. Avem: ∈ α (3 π / 2 2 π). Translate unghiurile gradul măsurilor radian: α ∈ (270 °; 360 °) - l IV coordonate trimestru, acolo cosinus pozitiv. Prin urmare, cos α = 0,6.
Sarcină. Găsiți păcatul a. dacă știți următoarele:
Scriem formula care rezultă din identitatea trigonometrice de bază și conectează direct sinus și cotangentă:
Aceasta implică faptul că păcatul 2 α = 1/25, adică sin α = ± 1/5 = ± 0,2. Este cunoscut faptul că unghiul a ∈ (0; π / 2). Cel puțin acest grad este scris ca: α ∈ (0 ° 90 °) - coordonez trimestru.
Astfel, unghiul este în I coordonate sfert - toate funcțiile trigonometrice sunt pozitive, deci păcatul α = 0,2.
- Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă
