Descompunerea funcțiilor elementare în Taylor

32.4. Descompunerea funcțiilor elementare în Taylor

1.Razlozhenie funcției număr f (x) = e x. Deoarece f (n) (x) = e x. apoi, pentru orice fix a> 0 pentru toate x (-a, a) și tot n = 1, 2. inegalitate

Astfel, intervalul (-a, a) pentru funcția e x condițiile Teorema 7 (x0 = 0) și, prin urmare e x funcția este extins într-o serie Taylor, la orice interval finit și deci pe întreaga axă. Rețineți că, în acest caz, f (n) (0) = 1, obținem (vezi. (32.47))

Reamintim că, în cap. 31.1, sa constatat că un număr n z / n. converge complet pe planul complex (cu toate acestea, ar trebui să fie independentă de teoremei anterioare, în conformitate cu primul Abel și convergența dovedită aici (32,50), pe toată axa număr real). Prin (32,50) real z = x este egal cu suma e x acesteia. În cazul în care în mod substanțial finalizeze suma z denote similară e z. Astfel, formula

la un număr substanțial complex z este definiția funcției e z.
Din moment ce anumite funcții de e z. zC. nu se potrivesc numai pentru z = x validă o cunoscută funcție exponențială e x. dar, de asemenea, păstrează într-un număr regiune complex de proprietăți care indică argumentul real al funcției. De exemplu,

Într-adevăr, seria obținută din (32,51) la z = z1 și z = z2. total de acord, astfel încât acestea să poată fi pe termen multiplicată cu termen; Deci, cum să obțineți de la această serie converge, de asemenea, absolut, membrii săi pot fi aranjate în orice ordine. Punerea toți termenii care conțin produse de Z1 și Z2 grade cu aceleași rate sumă egală cu n. aranja aceste grupuri de n ascendent. și apoi se multiplica și împărțiți-le în 1 / n.

2. Expansiunea rândurile x sh și ch x. Înlocuirea în formula (32.50) x la -x (aceasta înseamnă pur și simplu schimbarea notația), obținem

În părțile laterale dreapta ale acestor formule prin unicitatea expansiuni funcțiilor în seria de putere sunt Taylor serie de funcțiile x CH și sh x.
Deoarece funcția de e Z este definit pentru toate valorile complexe ale argumentului z. este la o valori semnificativ mai complexe ale argumentului poate fi extins la funcțiile hiperbolice ch x si x sh, punând

Anumite funcții, astfel, ch și sh z z z pentru complexul extins în serie de putere (32.54) și (32.55) (în cazul în care ar trebui să scrie în loc de x z), convergente în planul complex.
3. Extinderea rândurile păcatului x și cos x. Formula lui Euler.
Dacă f (n) (x) = sin x. apoi f (n) (x) = sin (x + n / 2), n = 1, 2 (a se vedea secțiunea 11.1 ..) asa | f (n) (x) | <1 для всех действительных x. Согласно теореме 7 отсюда следует, что функция sin x раскладывается в степенной ряд на всей действительной числовой оси. Вспомнив формулу Тейлора для синуса (см. п. 14.2), получим для него ряд Тейлора

Argumentând în mod similar pentru cos x și reamintind formula sa lui Taylor, obținem

Prin prima teorema a lui Abel seria lui de pe partea dreaptă a (32.56) și (32.57) converg pe întreg planul complex. Acest lucru permite de a extinde sinus și cosinus valorile argumentului complexe, setarea pentru orice z complexe

Complexul stabili cu ușurință o legătură între funcțiile exponențiale și trigonometrice. Înlocuirea z într-un număr (32,51), pe primul Iz. și apoi -iz. obținem

Comparativ cu cei cu formula (32.58) și (32.59), vedem că

Prin determinarea ch z și z sh valori pentru complex z variabil (cm. Deasupra), formula (32.61) poate fi scrisă ca

Astfel, în domeniul complex cos z pot fi obținute din funcția ch z cu o schimbare de z variable = i, iar z funcția păcat - sh z de rotație și aceeași divizie în i:

ch z = ch i = cos, sh z = sh i = i păcat.

Din formulele (32.61) urmează, de asemenea, imediat formula

Ecuațiile (32.61) și (32.62) sunt numite formula lui Euler. Ei, desigur, de asemenea, valabil pentru valorile reale ale z.






Dacă în formula (32.62) z = - un număr real, atunci

Rezultă că modulul numărului complex al formei, R. este 1:

= (Cos + i sin 2 2) 1/2 = 1.

Din formula (32,63), rezultă de asemenea că z este un număr complex cu un modul și argument r, t. E.
z = r (cos + i păcat), poate fi scrisă ca

Punerea aici r = 1, =, și deci, z = -1, obținem

- Formula uimitoare Euler deschis, stabilirea de comunicare între numerele de -1 ,, i și e. Surprinzător, deoarece aceste numere au fost deschise în studiul de matematicieni destul de îndepărtate de la fiecare alte probleme: numărul -1 au apărut atunci când sa realizat că introducerea de numere de scădere negativ are sens pentru fiecare pereche ordonată de numere întregi (în plus, sa dovedit numere negative temperatura corpului confortabil în comparație cu punctul de îngheț al apei, când înălțimi și depresiuni de măsurare pe un teren relativ la nivelul mării, etc) ...; număr este raportul dintre circumferința și diametrul, unitatea imaginară i face posibilă rezolvarea orice ecuație pătratică cu coeficienți reali, și e reprezintă un număr dintr-o bază a funcției exponențiale, care coincide cu derivatul său în aceasta. Prin urmare, nu este surprinzător faptul că în orașul Kingston în Canada pe fațada clădirii principale de la Universitatea Queens, puteți vedea un imens formula lui Euler: = -1.
Din formula (32,63), care neașteptată, la prima vedere, e funcția z proprietate - este periodic în planul complex și perioada sa este egală cu 2 i. Într-adevăr, din moment ce

cos 2 + i sin 2 = 1.

atunci pentru orice z avem

Rezultă că inversul z funcției Funcția e notată ln z și definită de ecuația

Este în domeniul complex al funcției multi-evaluate. Datorită conceptului unei funcții complexe de e variabilă z exponențială și logaritmică funcția ln z. posibil pentru orice numere complexe z și w pentru a determina gradul de

Exercitarea. Dovedește că toate valorile i i sunt numere reale.
Din faptul că funcția e z 2 are o perioadă i. Rezultă că funcțiile cos z păcat z și sunt periodice cu perioada 2 pentru valori complexe ale argumentului:

In mod similar sin (z + 2) = sin z. zC.
Notă. Conceptul de o funcție variabilă complexă este utilă în studiul funcțiilor unui argument real, luând numai valori reale. Arătăm în acest exemplu, calculul integralei. Aplicarea formulei lui Euler

(M. Cu calculul acestei integrale în Sec. 22.4).
4. ln expansiune serie (1 + x). Conform formulei lui Taylor

Scriem rn restul (x) cu formula sub forma Lagrange. deoarece

Atunci când x = -1 seria divergenta, în calitate de membri ai săi doar minus diferă de membri ai seriei armonice, care, după cum știm, este divergentă. Diverge pe partea dreaptă a formulei (32,66), și pentru toți x. mare valoare unitară absolută, deoarece, în acest caz, secvența membrilor săi nu dispare; Mai mult decât atât,

Dacă folosim doua teorema Abel (Sec. 32,1), marcate cu un asterisc ca opțional în cadrul programului redus, apoi ln funcția de expansiune (1 + x) într-o serie de putere pot fi obținute în mod indirect, dar cale mai scurtă. Luați în considerare următoarele serii, care este o sumă de termeni de progresie geometrică infinit:

Un număr de pe partea dreapta converge uniform pe intervalul [-q, q], 0 Din convergența uniformă (32.67) Rezultă că poate fi integrat termwise de la 0 la x (-1,1) (Teorema 8 din Sec. 31.4). Făcând această integrare, obținem

sau specificând pe partea dreapta printr-un semn însumare,

Astfel, în conformitate cu teorema de mai sus, seria de pe partea dreaptă a acestei ecuații converge pe intervalul (-1,1) și pe baza Leibniz (Teorema 9 din Sec. 30.5) și converge-l într-un punct x = 1. Prin urmare, în conformitate cu al doilea teorema Abel (teorema 3 * în p. 32.1), numărul total de ln (1 + x) = (-1) n +1 xn / n continue pe intervalul [0,1]. Dar, deoarece ln funcție (1 + x), este, de asemenea, continuă în acest interval, iar intervalul (-1,1) este identică cu suma seriei, pe permițându x 1 pentru a obține ln funcție (1 + x) și suma numărul (-1) n +1 xn / n coincid și când x = 1. Astfel, revenim la descompunerea ln funcție (1 + x) într-o serie de putere în intervalul (-1,1] (a se vedea. (32.66) ).
5. Seria de putere gradul de expansiune al binomului. Formula lui Taylor pentru funcția are forma

Numărul corespunzător se numește binom lângă indicatorul. Ea are forma

Dacă un număr natural, atunci această serie conține doar un număr finit de termeni nu este egal cu 0, și se transformă într-o formulă cunoscută binomial

Presupunem că există un număr natural, și x 0, atunci toți membrii seriei (32.69) nu este egal cu 0. Să ne investigăm convergența absolută folosind testul d'Alembert lui. punerea

Prin urmare, seria (32.69) converge absolut pentru | x | <1 и, поскольку этот ряд степенной, расходится при |x |> 1. Să se arate că suma seriei (32.69) pe intervalul (-1,1) este o funcție. Pentru a face acest lucru, vom examina restul RN (x) în formula lui Taylor (32,68), scriind-o în formă de Cauchy. ca

o (x) factorul este un membru al seriei binom cu un indicator - 1, și deoarece sa arătat mai sus că orice serie binom converge pe intervalul (-1,1), atunci