Soluția de ecuații în numere întregi, rețeaua socială de educatori
Decizia în numere întregi de ecuații algebrice cu două necunoscute este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Aceste sarcini au fost implicați în matematicieni mai remarcabile din antichitate, cum ar fi matematicianul grec Pitagora (secolul VI î.Hr.), matematicianul Alexandrină Diophant (III-lea î.Hr.), Fermat, L. Euler (secolul XVIII (secolul XVII). ) Zh.L.Lagranzh (secolul XVIII), P.Dirihle (sec XIX), K.Gauss (sec XIX), P.Chebyshev (sec. XIX) și multe altele.
soluții de ecuații în numere întregi este o sarcină importantă pentru matematică moderne.
În pregătirea pentru Jocurile Olimpice, care participă la concursuri, elevii întâlni cu sarcinile de a propune o ecuație cu două variabile. Băieții au o dorință de a afla dacă aceste ecuații pot fi rezolvate, și ce metode sunt folosite pentru a le rezolva, toate au algoritmul de soluție.
Prin urmare, scopul definit de cercetare:
- ia în considerare tehnicile de bază și metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi.
De asemenea, se urmărește:
- creșterea nivelului de cultură matematică a elevilor;
- să dezvolte abilitățile de cercetare independente în matematică.
reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx
Ministerul Educației al Republicii Bashkortostan
Municipal District Zilairsky District
instituție bugetară învățământ municipal
"Secundar s.Ivano Kuvalat-școală"
Concurență de cercetare
în cadrul Academiei Mici de studenți Științe
Republica Bashkortostan în categoria „Matematică“
1. Metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi. Exemple. 4
Metoda 1. termeni Gruparea și factor comun a face din paranteze 4
Metoda 2. Expresia una necunoscută printr-o altă parte de selecție întreagă și un reziduu 5
3. Introducerea unei noi metode de 5 variabile
Metoda 4. Prezentarea partea stângă a ecuației ca suma termenilor nenegativ 6
5. Metoda de decizie utilizând proprietățile amorsează 7
6. Metoda de decizie ținând cont de expresiile planeitate și bizarerie 7
Metoda 7. Decizia de a lua în considerare reziduurile de numere de divizare 8
8. Metoda de rezolvare ecuații cu două variabile ca un pătrat cu privire la una dintre variabilele 8
Bibliografie 10
1.Gruppirovka termeni și de a face factor comun din paranteze. Descompunerea unui număr de picioare pe partea dreaptă a ecuației, factoring. Concluzii pe partea stângă a ecuației de pe divizorii dreapta.
2.Vyrazhenie printr-un altul, după care o parte necunoscută selecție întreagă și un reziduu.
3.Vvedenie nouă variabilă.
4. Prezentarea partea stângă a ecuației ca suma termenilor nonnegative.
5. Soluția folosirii proprietăților PRIMES.
6. Decizia ținând cont de relațiile de paritate și bizarerie.
7. Decizia de a lua în considerare reziduurile de numărul de diviziune.
8. Soluția de ecuații cu două variabile ca un pătrat cu privire la una dintre variabilele.
soluții de ecuații în numere întregi este una dintre cele mai vechi probleme matematice. Cea mai mare înflorire a acestei zone de matematică a ajuns în Grecia antică. Principala sursă, a ajuns până la noi, este lucrarea lui Diophant - „Aritmetica“. Diophant rezumate și extins până când a câștigat experiență în rezolvarea ecuațiilor nedeterminate în numere întregi.
Cel mai faimos, Diophant rezolvat este problema „pe extinderea a două pătrate.“ Este echivalentul cunoscutului teorema lui Pitagora. Această teoremă a fost cunoscută în Babilonia, probabil, era cunoscut în Egiptul antic, dar a fost demonstrat pentru prima dată în școala pitagoreică. A fost numele unui grup interesat în filosofia matematicii după fondatorul școlii pitagoreice (aproximativ 580-500g. BC)
Viața și munca de Diophant a procedat în Alexandria, el a colectat și rezolvat cunoscute și să vină cu noi obiective. Mai târziu, el le-a combinat într-o mare lucrare intitulată „aritmetică.“ Din cele treisprezece cărți au fost parte din „Aritmetica“, doar șase au supraviețuit din Evul Mediu și a devenit o sursă de inspirație pentru matematicieni ai Renașterii.
- Metode de rezolvare a ecuațiilor în numere întregi. Exemple.
Metoda 1. termeni de grupare și de a face factor comun din paranteze.
m 2 - 2 = (m + n) (m - n).
pentru că m ∈ N. n ∈ Ν de m + n> m - n. aici sunt patru opțiuni posibile:
Răspuns: (1,007; 1006); (337; 334); (97; 86); (47; 14)
In exemplul 1, I prin gruparea termenilor și a face factor comun ecuația originală a condus la o formă în care este produsul dintre factorii de pe partea stângă a ecuației care conține necunoscut, iar în dreapta este un număr. Apoi, ia în considerare toate divizorii numărului de pe partea dreaptă a ecuației, și trage concluzii despre partea stângă a ecuației. De asemenea, vom proceda în exemplul 2, dar rezolva-l în numere întregi.
Exemplul 2: rezolva ecuația x 2 - x, - x + y = 1, unde x și y sunt numere întregi.
x (x - y) - (x - y) = (x - y) (x - 1). 1 = 1 ⋅ 1 = (-1) ⋅ (-1), deci există două cazuri posibile:
Metoda 2 este că vom exprima un necunoscut de altul, apoi selectați partea întreagă, iar reziduul.
Exemplul 3. Rezolva ecuația 2 x 2 x 11 + - 2 xy + y = 5, în care x și y sunt numere întregi.
2 x + 2 x 11 - 5 = 2 xy - y. 2 x + 2 x 11-5 = y (x 2 - 1), se
Exprimarea 2 x - 1 în numere întregi de la zero nu este desenată. Acum trebuie să
2 x 2 x 11 + - 5 împărțit cu un rest x 2 - 1, de exemplu, o coloană. obține
Deoarece x și y - întregi, întregi trebuie să fie o expresie. Acest lucru este posibil, în două cazuri, și când.
Metoda 3 este că introducerea de noi variabile pentru soluția de ecuații în numere întregi.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația 7, (x + y) = 3 (x 2 - y 2 + xy), unde x și y sunt numere întregi.
Lăsați suma lui x și y este p. și diferența lor - q. Prin urmare, x =. = Y.
7 p = 3 ·. și anume 28, p = 3 (p + q 2 3 2).
p. După cum putem vedea din ecuația finală, non-negativă și este divizibil cu 3, adică p = 3 k. k ∈ Ζ.
28 · 3 k = 3 ((3 k) 2 + q 3 2),
28 · 3 k = 3 (k 2 + 9 3 2 q),
28 k = (k + 2 9 3 2 q),
28, k = 3 + (k 3 2 + q 2).
k este divizibil cu 3, deci k = 3 m. m ∈ Ζ.
28 · 3 m = 3 * (3 * (3 m) 2 + q 2),
28 m = · (3 · (3 m) 2 + q 2),
28 m = 27 m 2 + q 2 m (28 - 27 m) q = 2. Deoarece 2 q ≥ 0 sau m = 0 sau m = 1.
Dacă m = 0, k = 0, p = 0, q = 0, și, prin urmare, x = y = 0.
Dacă m = 1, k = 3, p = 9, q 2 = 1. Când q = 1, x = 5, y = 4, și atunci când q = 2 - 1
Metoda 4 este de a furniza partea stângă a ecuației ca suma termenilor nonnegative.
Exemplul 5 Rezolva ecuația x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, unde x și y sunt numere întregi.
Alocați pătrate perfecte:
(X 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(X - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y - întregi, patrate lor ca numere întregi. Suma pătratelor a două numere întregi, egal cu 37, se obține dacă se adaugă 1 + 36. În consecință:
(X - y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1 și (x - y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.
Rezolvarea sistemului, vom găsi soluții.
5. Metoda de decizie folosind proprietățile amorse.
Exemplul 6. Rezolva ecuația 19 x + 89 y = 1989 numere naturale.
Rescrie-l astfel,
X 19-1900 = 89-89 în
19 (x - 100) = 89 (1- y)
19 și 89 - relativ prim, aceasta înseamnă că egalitatea este posibilă în 3 cazuri.
a) nu există nici o soluție, deoarece ∉ Ν; b) x = 11, y = 20; c) x = 100, y = 1.
A: (11; 20); (100; 1).
Metoda 6 rezolvă ecuația, acordând o atenție la expresii par sau impar.
Exemplul 7: Demonstrati că nu există nici o soluție pentru ecuația:
x 2 + x + 1 = x (x + 1) + 1. Deoarece x (x + 1) - o expresie chiar,
x (x + 1) + 1 - impar. Rădăcina pătrată a unui număr impar este numărul impar.
În mod similar - un număr impar. Suma a două numere impare chiar, adică, pe partea stângă, avem un număr par, precum și dreptul - ciudat. Raspuns: nu există soluții.
Exemplul 8. Să rezolve ecuația în numere întregi x 3 + y 3 - 3 = 2 xy.
Dacă x și y sunt impar, ambii sau unul dintre ele este impar, atunci partea stângă a ecuației este numărul de ciudat și dreapta - chiar. În acest caz, nu există soluții.
Dacă x = 2 și m = 2 n. 8 m 3 + n 3 8 - TN 12 = 2, adică
2 (2 m 3 + n 3 2 - 3 mn) = 1, ceea ce este imposibil sub orice numere întregi m și n.
Raspuns: nu există soluții.
Metoda 7. Metoda considerare reziduurile din diviziunea.
În rezolvarea multe ecuații nedeterminate, este util să se observe rămășițele împărțirea numerelor la un anumit număr.
Să considerăm un exemplu care dezvăluie esența acestei metode.
Exemplul 9. Solve ecuație în numere întregi 3x - 4y = 1.
Partea stângă a ecuației este împărțit la 3, prin urmare, este împărțit și partea dreaptă. Prin divizarea cu teorema a restului în număr sau împărțit la 3, sau atunci când împărțit la 3 dă un rest de 1 sau 2. Considerăm că trei cazuri.
- Dacă y = 3m, m Z, apoi 4y + 1 = 4 · 3m + 1 = 12m + 1 nu este divizibil cu 3.
- Dacă y = 3, m + 1, apoi 4y +1 = 4 · (3m + 1) +1 = 12m + 5 nu este divizibil cu 3.
- Dacă y = 3, m + 2, apoi 4y +1 = 4 · (3m + 2) + 1 = 12m + 9 divizibilă cu 3, deci 3x = 12m + 9, deci x = 4m + 3, și y = 3m + 2.
A: unde m Z.
8. Metoda de rezolvare ecuații cu două variabile ca un pătrat cu privire la una dintre variabilele.
Exemplul 10. Pentru a rezolva ecuația în numere întregi: 5x + 5y 2 + 2 + 2y-8hu 2x + 2 = 0.
Să considerăm ca o ecuație pătratică în x:
5x 2 + (8y - 2) x + 5y + 2 + 2y 2 = 0
D = (8y - 2) 2 - 4 · 5 (5y 2 + 2y + 2) = 2 64U - 32U + 4 - 100U 2 - 40U - 40 =
= -36 (y 2 + 2y + 1) = -36 (y + 1) 2
Noi vedem că D 0. Dacă D