Formulele de bază ale trigonometrie
Formulele de bază ale trigonometrie. Lecții №1
Număr formule utilizate în trigonometrie este suficient de mare (sub „formule“ nu înseamnă determinarea (de exemplu, tgx = sinx / cosx) și ecuația de tip identic sin2x = 2sinxcosx). Pentru a face mai ușor de navigat în abundența de formule și nu studenților alezaj buchiseala lipsit de rațiune, este necesar să se facă distincția între ele cele mai importante. mica lor - doar trei. Dintre aceste trei formule este urmat de toate celelalte. Aceasta - identitatea trigonometrice pitagoreice și formula pentru sumele sinus și cosinus și diferențele:
Sin 2 x + cos 2 x = 1 (1)
Dintre aceste trei formule urmeze în mod absolut toate proprietățile sinus și cosinus (frecvența, amploarea perioadei valorii sinus 30 0 = π / 6 = 1/2, etc.) Din acest punct de vedere, în programul școlar utilizează multe informații inutile punct de vedere tehnic, redundante. Astfel, formula „1-3“ - conducător al regatului trigonometrice. Să ne întoarcem la consecințe Formula:
Substituind în (2) și (3), valoarea lui x = y. obținem:
Cos2x = cos 2 x-sin 2 x; cos0 = cos 2 x + sin 2 x = 1
Am dedus că sin0 = 0; cos0 = 1 fără a se referi la o interpretare geometrică a sinus și cosinus. În mod similar, folosind formula „2-3“ de două ori, putem obține expresii pentru sin3x; cos3x; sin4x; cos4x etc.
Sin3x = sin (2x + x) = sin2xcosx + sinxcos2x = 2sinxcos 2 x + sinx (cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx (1-sin 2 x) + sinx (1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Sarcina pentru studenți: aduce expresii similare cos3x; sin4x; cos4x
Rezolva problema inversă, exprimând gradul de sinus și cosinus de cosinus și unghiuri multiple sinus.
De exemplu: cos2x = cos 2 x-sin 2 x = 2cos 2 x-1, deci: cos 2 x = 1/2 + cos2x / 2
Cos2x = cos 2 x-sin 2 x = 1-2sin 2 x, deci: sin 2 x = half-cos2x / 2
Aceste formule sunt folosite foarte des. Pentru a le înțelege mai bine, îi sfătuiesc să reprezinte graficele din stânga și dreapta. Graficele pătrate de cosinus și sinus „sfori“ în jurul liniei generat „y = 1/2“ (aceasta este media pe parcursul mai multor perioade de valoarea x și cos 2 sin 2 x). Frecvența de oscilație este dublată comparativ cu originalul (perioada funcțiilor cos 2 x păcat 2 x este egal cu 2tt / 2 = π), iar amplitudinea de oscilație este redus la jumătate (raport de 1/2 înainte de cos2x).
Obiectiv: Pentru a exprima 3 sin x; cos 3 x; 4 x sin; cos 4 x prin multiple sinus și cosinus unghiurilor.
Folosind periodicitatea funcțiilor trigonometrice, permițându-le să se calculeze valoarea oricărei sferturi de cerc trigonometrice de valorile din primul trimestru. Formulele de reducere au cazuri speciale "principale" formule (2-3) .Naprimer: cos (x + π / 2) = cosxcos π / 2-sinxsin π / 2 = cosx * 0-sinx * 1 = sinx
Astfel, Cos (x + π / 2) = sinx
Obiectiv: să aducă formulele de reducere pentru sin (x + π / 2); cos (x + 3 π / 2)
4) Formulele pentru convertirea sumei sau diferenței dintre cosinusul și sinusul unui produs și înapoi.
Scriem formula pentru sinusul suma și diferența dintre cele două unghiuri:
Sin (x + y) = sinxcosy + sinycosx (1)
Sin (x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Adăugați laturile din stânga și din dreapta ale acestor ecuații:
Sin (x + y) + sin (x-y) = sinxcosy + sinycosx + sinxcosy -sinycosx
Acești termeni anula, astfel:
Sin (x + y) + sin (x-y) = 2sinxcosy (*)
a) lectură (*) obține dreptul:
Sinxcosy = 1/2 (sin (x + y) + sin (x-y)) (4)
Produsul din sinus celor două unghiuri egale cu jumătate din suma sinus sumelor și a diferențelor de unghiuri.
b) lectură (*) de la stânga la dreapta este convenabil pentru a desemna:
xy = c. Prin urmare, vom găsi x și y în ceea ce privește p și s. adăugând și scăzând laturile din stânga și din dreapta ale acestor două ecuații:
x = (p + c) / 2, y = (b-c) / 2, înlocuind în (*) în loc de (x + y) și (x-y) derivate variabile noi p și s. reprezintă suma produsului de sinus:
sinp + sinc = 2sin (p + c) / 2cos (p-c) / 2 (5)
Astfel, o consecință directă a formulei de bază pentru sinusul sumei și diferenței dintre unghiurile sunt două relații nou (4) și (5).
c) Acum, în loc de pliere laturile din stânga și din dreapta ecuațiile (1) și (2), îi scade unul de celălalt:
sin (x + y) - sin (x-y) = 2sinycosx (6)
Citirea identității de la dreapta la rezultate lăsate într-o formulă similară (4), care este lipsit de interes, deoarece știm deja cum să se stabilească piesele de sinus și cosinus valoarea sine (a se vedea. (4)). Reading (6) dă formula de la stânga la dreapta, a minimiza diferența în activitatea sinusurilor:
sinp - sinc = 2sin ((p-c) / 2) * cos ((p + c) / 2) (7)
Deci, unul dintre păcatul fundamental de identitate (x ± y) = sinxcosy ± sinycosx, avem trei noi (4), (5), (7).
O activitate similară se face cu un alt cos de identitate fundamentale (x ± y) = cosxcosy ± sinxsiny, deja conduce la patru noi:
Cosxcosy = ½ (cos (x + y) + cos (x-y)); COSP + COSC = 2cos ((p + c) / 2) cos ((p-c) / 2);
Sinxsiny = ½ (cos (x-y) - cos (x + y)); COSP-COSC = -2sin ((p-c) / 2) sin ((p + c) / 2)
Obiectiv: Pentru a converti la suma de produs cosinus și sinus:
Sinx + = confortabil. Soluție: dacă încercați să nu pentru a deduce formula, dar imediat răspunde la Peek la un tabel de formule trigonometrice, și nu puteți găsi rezultatul final. Studenții trebuie să se înțeleagă că nu este nevoie de a învăța și de a intra în tabel încă o altă formulă pentru sinx + confortabil = ..., deoarece orice cosinus poate fi reprezentat ca o condiție sine și invers, prin formulele de reducere, de exemplu: sinx = cos (π / 2 - x), confortabil = sin (π / 2 - y). Prin urmare: sinx + confortabil = sinx + sin (π / 2 - y) = 2sin ((x + π / 2 - y) / 2) cos ((x - π / 2 + y) / 2.
meniul principal
125 222, București, un / I 8,
site nou
Stimați utilizatori și vizitatori ai site-ului.
reviste pedagogice
Concurență pentru profesori și educatori
Joomla! - software liber, distribuit sub licența GNU / GPL.
„Revista profesorului on-line“ (certificat de numărul de înregistrare mass-media EL FS 77-42343 de la 20.10.10)